Matematikadan bäsleşikde hödürlenýän meseleleriň çözülişiniň amatly usuly

MATEMATIKADAN BÄSLEŞIKDE HÖDÜRLENÝÄN MESELELERIÑ ÇÖZÜLIŞINIŇ AMATLY USULY

Hormatly Prezidentimiz Gurbanguly Berdimuhamedowyň ýolbaşçylygynda ýurdumyzda bilim ulgamy boýunça uly sepgitlere ýetildi. Ýurt baştutanymyzyň: "Döwletimiziň esaslarynyň mundan beýläk-de pugtalanmagy, kämil jemgyýetiň kemala gelmegi üçin ak ýürekli, Watana wepaly, ýokary düşünjeli, ruhubelent, öz borjuna düşünýän nesli terbiýeläp ýetişdirmek biziň borjumyzdyr’’ diýen belent sözlerini özlerine şygar edinen bilim işgärleri döwrebap nesli terbiýemek ugrunda jan aýaman zähmet çekýärler. Şeýle düşünjeli, döwrebap nesli kemala getirmekde hem ders bäsleşikleriniň geçirilmeginiň uly ähmiýeti bar.
Matematikadan bäsleşiklerde kähalatda belli bir aňlatmanyň üýtgeýäniň islendik bahasynda haýsydyr bir sana bölünýändigini subut etmäge degişli ýumuşlar hödürlenilýär. Şeýle ýumuşlaryň çözülişine geçmezden öň matematikada mälim bolan käbir maglumatlary ýatlap geçeliň:

Matematiki induksiýa usuly (metody)

Tassyklamanyň dogrulygyny hususy hal üçin ( ýagny n=1 üçin) barlap görýärler, soňra şol tassyklamany käbir n=k hal üçin dogry diýip güman edýärler. Şu şertlerde tassyklamanyň n=k+1 hal üçin-de dogrulygy subut edilýär. Şeýlelikde tassyklama islendik n üçin dogry bolýar.
(B.Berdiýew. "Matematika boýunça klasdan daşary işler’’ 1993 ý, 65 sah.)

Bezu teoremasy:

anxn+an-1xn-1+…+a0 köpçlen x-a bölünende alynýan galyndy bu köpçleniň x=a bolandaky bahasyna deňdir. ( terjime: A.A.Rybkin, A.Z.Rybkin, A.S.Hrenow. "Sprawoçnik po matematike’’ 1975 ý, 61 sah.)
xn±an ikagzanyň x±a bölünijiligi.
(Bölünijilik nyşanlary Bezunyň teoremasyndan gelip çykýan netijelerdir.)
1. Birmeňzeş derejeli iki sanyň tapawudy bu sanlaryň tapawudyna galyndysyz bölünýär, ýagny xn- an ikagza x-a bölünýär.
2. Birmeňzeş jübüt derejeli iki sanyň tapawudy bu sanlaryň hem tapawudyna, hem jemine bölünýär. Ýagny n jübüt bolsa xn- an ikagza hem x-a, hem x+a bölünýär.
2. a) Birmeňzeş täk derejeli iki sanyň tapawudy bu sanlaryň jemine bölünmeýär.
3. Birmeňzeş derejeli iki sanyň jemi bu sanlaryň tapawudyna bölünmeýär.
4. Birmeňzeş täk derejeli iki sanyň jemi bu sanlaryň jemine bölünýär.
4. a) Birmeňzeş jübüt derejeli iki sanyň jemi bu sanlaryň jemine hem, tapawudyna hem bölünmeýär. (Terjime: Wygodskiý M.Ý. "Sprawoçnik po elementarnoý matematike" 1986 ý. 108-110 sah).
Indi şu maglumatlar esasynda käbir mysallaryň çözülişine seredeliň.
Mysal 1. n-iň islendik bahasynda 62n-1 sanyň 7-ä bölünýändigini subut etmeli.
(Mysal 408. 59 sah, Algebra VI synp üçin synag okuw kitaby,1997 ý. Awtorlary: J.Töräýew, G.Şadurdyýew, A.Öwezow, A.Nuryýewa, S.Geldiýew, Ö.Üwdiýew)

Çözülişi: I usul:

Matematiki induksiýa motody boýunça: n=1 bolanda 62-1 =35; 7-ä galyndysyz bölünýär. Onda n=k bolanda 6k-1 aňlatma 7-ä bölünýär diýip hasap etsek, onda: 62k-1=7N deňlik ýerine ýetýär. Şeýlelikde:
62(k+1)-1= 62k - 62-1 =(62k-1+1) • 62-1= (62k-1) • 62+62-1=7N• 62+35=7(36N+5) Görnüşi ýaly bu aňlatma 7-ä galyndysyz bölünýär. Tassyklama subut edildi.

II usul: xn±an ikagzanyň x±a bölünijiliginiň 2-nji nyşanyna görä 62n-1=62n-12n aňlatma 6+1 aňlatma bölünýär, diýmek bu aňlatma 7-ä galyndysyz bölünýär. Bu aňlatma 35- e hem galyndysyz bölünýär, sebäbi 62n-1=(62)n-1n aňlatma 1-nji nyşana görä 62-1=35; 35-e galyndysyz bölünýär. Görnüşi ýaly şu görnüşli mysallary çözmek üçin II usul amatlydyr. Şeýle usul bilen çözülýän ýe-ne birnäçe mysala garalyň.
Mysal 2. n-iň islendik bahasynda 72n-42n aňlatmanyň 33-e bölünýändigini subut etmeli. (Mysal 409. 59 sah, Algebra VI synp üçin synag okuw kitaby, 1997 ý.)

Çözülişi:
xn±an ikagzanyň x±a bölünijiliginiň 2-nji nyşanyna görä 72n-42n aňlatma 72-42 aňlatma bölünýär, 72-42=33; Diýmek, berlen aňlatma 33-e galyndysyz bölünýär.
Mysal 3.
n-iň islendik bahasynda 122n+1-52n+1 aňlatmanyň 7-ä galyndysyz bölünýändigini, 17-ä bölünmeýändigini subut ediň.
Çözülişi:
xn±an ikagzanyň x±a bölünijiliginiň 1-nji nyşanyna görä 122n+1-52n+1 aňlatma 12-5=7; 7-ä galyndysyz bölünýär. 122n+1-52n+1 aňlatmanyň derejesiniň n-iň islendik natural san bahasynda täkligi sebäpli, xn±an ikagzanyň x±a bölünijiliginiň 2-nji a nyşanyna görä 12+5=17; 17-ä bölünmeýär.
Mysal 4.
299+29 aňlatmanyň 100-e galyndysyz bölünýändigini subut etmeli.
Çözülişi: Sadalaşdyrýarys: 299+29=29(290+1)= 29((210)9+19) Görnüşi ýaly: 29=512, (210)9+19 aňlatma bolsa xn±an ikagzanyň x±a bölünijiliginiň 4-nji nyşanyna görä 210+1-e bölünýär. 210+1=1025; Onda 1025 san 25-e bölünýär, 512 san bolsa 4-e bölünýär. Diýmek, berlen aňlatma hem 100-e galyndysyz bölünýär.
Mysal 5.
116n+3+ 1 aňlatmanyň n-iň islendik bahasynda 148-e bölünýändigini subut etmeli.
Çözülişi:
Berlen aňlatmany sadalaşdyrýarys: 116n+3+ 1=(113)2n+1+12n+1; Bu aňlatma bolsa xn±an ikagzanyň x±a bölünijiliginiň 4-nji nyşanyna görä 113+1aňlatma bölünýär. Görnüşi ýaly: 113+1= 1331+1=1332, 1332:148=9 . Diýmek, berlen aňlatma 148-e galyndysyz bölünýär.
Mysal 6.
11n+2+122n+1 aňlatmanyň n-iň islendik bahasynda 133-e bölünýändigini subut etmeli.
Çözülişi:
Berlen aňlatmany özgerdýäris: 11n•112+122n•12=11n•112+122n•12-12•11n+12•11n= =11n(112+12)+12(122n - 11n) = 133•11n+12(122n -11n) .
Bu ýerde birinji goşulyjynyň 133-e bölünýändigi görünýär. Ikinji goşulyjynyň 122-11aňlatma, ýagny 133 -e bölünýändigi xn±an ikagzanyň x±a bölünijiliginiň 1-nji nyşanyndan gelip çykýar. Diýmek berlen aňlatma 133-e galyndysyz bölünýär.
Görnüşi ýaly şeýle mysallary çözmekde xn±an ikagzanyň x±a bölünijiliginiň nyşanlaryny ulanmak has amatlydyr.

Amanberdi ALLABERDIÝEW.